复除数函数的连通分支

对任意复数 $c$，定义除数函数 $\sigma_c\colon\mathbb N\to\mathbb C$ 为 $\displaystyle\sigma_c(n)=\sum_{d\mid n}d^c$。令 $\overline{\sigma_c(\mathbb N)}$ 表示 $\sigma_c$ 值域的拓扑闭包。推广当前作者与 Sanna 的先前工作，我们证明若 $\Re(c)\leq 0$ 且 $c\neq 0$，则 $\overline{\sigma_c(\mathbb N)}$ 具有非空内部且仅有有限个连通分支。我们以一些开放问题作结。