关于 $4p=x^2+dy^2$ 时 $x^2 \mod p^2$ 的猜想与结果

给定无平方因子的正整数 $d$，我们希望找到整数（或分母不被大素数整除的有理数）$a_0,a_1,a_2,\ldots$，使得对于足够大的素数 $p$，若 $4p=x^2+dy^2$（若 $d=1$ 则 $4\nmid x$），有 $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv x^2-2p$ (mod $p^2$)；若 $(\frac{-d}p)=-1$，有 $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv 0$ (mod $p^2$)。本文对该主题的猜想与结果进行了综述，并指出了该问题与 $1/\pi$ 的级数之间的联系。