满足 $p \equiv 1 \bmod{d}$ 且 $a^{(p-1)/d} \equiv 1 \bmod{p}$ 的素数

设 $d \in \{ 2, 3, 4, 6 \}$ 且 $a \in \mathbb{Z}$,其中 $a\neq -1$ 且 $a$ 不是平方数。令 $P_{(a,d)}$ 为不超过 $x$ 且满足 $p \equiv 1 \pmod{d}$ 和 $a^{(p-1)/d} \equiv 1 \pmod{p}$ 的素数个数。本文研究 $P_{(a,d)}$ 的均值。