对 $p\equiv 1 \pmod{4}$ 的 $\{1,2,\ldots,(p-1)/2\}$ 的平衡配对

设 $p\equiv 1 \pmod{4}$ 为素数。记 $t = \prod_{x=1}^{(p-1)/2}x$。由于 $t ^2\equiv -1 \pmod{p}$，我们可以将 $\{1,2,\ldots,(p-1)/2\}$ 划分为 $(p-1)/4$ 个有序对，使得每一对，记为 $<a,\tilde{a}>$，满足 $t a \equiv \pm \tilde{a} \pmod{p}$。对于任意这样的两对，假设 $a<\tilde{a}, b<\tilde{b}, a<b$，则它们的相对顺序有三种可能：$a<\tilde{a} < b< \tilde{b}$、$a< b < \tilde{a} < \tilde{b}$、$a< b < \tilde{b}< \tilde{a}$。我们证明该配对是平衡的，即三种情况以相等频率出现。利用该配对的性质，我们解决了 Zhi-Wei Sun 提出的关于与二次剩余相关的置换符号的一个问题。