无限长条中圆盘的配置空间

我们研究宽度为 $w$ 的无限长条中 $n$ 个直径为 1 的硬圆盘的配置空间 $C(n,w)$ 的拓扑。我们描述了参数或“regime”的范围，其中同调 $H_j [C(n,w)]$ 以定性不同的方式表现。我们证明若 $w \ge j+2$，则同调 $H_j[C(n, w)]$ 同构于平面中点配置空间 $H_j[C(n, \mathbb{R}^2)]$ 的同调。 $C(n, \mathbb{R}^2)$ 的 Betti 数由 Arnold 计算，因此作为该同构的推论，$\beta_j[C(n,w)]$ 是 $n$ 的 $2j$ 次多项式。另一方面，我们证明若 $2 \le w \le j+1$，则 $\beta_j [ C(n,w) ]$ 随 $n$ 指数增长。我们大部分工作在于仔细估计此 regime 下的 $\beta_j [ C(n,w) ]$。我们还针对每个 $n$ 说明了 $(w,j)$ 平面中的同调“相图”——即同调 $H_j [C(n,w)]$ 为零、非零以及与 $H_j [C(n, \mathbb{R}^2)]$ 同构的参数值。受硬球系统的相变概念启发，我们将这些讨论为“同调固态、液态和气态”regime。