定宽凸体超空间

设 $n$ 为大于或等于 2 的自然数。本文研究了配备 Hausdorff 度量拓扑的某些定宽凸子集超空间的拓扑结构。我们重点关注所有紧凸子集且宽度 $d\in D$ 的超空间 $cw_D(\mathbb{R}^n)$，其中 $D$ 是 $[0,\infty)$ 的凸子集。我们的主要结果表明，$cw_D(\mathbb{R}^n)$ 同胚于 $D\times \mathbb{R}^n\times Q$，其中 $Q$ 表示 Hilbert 立方体。我们还证明了由所有相对宽度 $d\in D$ 的紧凸集对组成的超空间 $crw_D(\mathbb{R}^n)$ 同胚于 $cw_D(\mathbb{R}^n)$。特别地，我们证明了所有定宽紧凸体的超空间 $cw(\mathbb{R}^n)$ 以及所有具有正常数相对宽度的紧凸集对的超空间 $crw(\mathbb{R}^n)$ 均同胚于 $\mathbb{R}^{n+1}\times Q$。