$R^m$ 的 Hausdorff 超空间及其稠密子空间

令 $CLB_H(X)$ 表示赋予 Hausdorff 度量拓扑的度量空间 $X$ 的有界闭集超空间。我们证明了，$CLB_H(R^m)$ 中由所有无处稠密闭集、所有完美集、所有 Cantor 集以及所有 Lebesgue 测度为零集构成的自然稠密子空间均同胚于 Hilbert 空间 $\ell_2$。此外，我们研究了赋予 Hausdorff（无限值）度量的实直线 $R$ 上所有非空闭集的超空间 $CL_H(R)$。我们表明，只要 $CL_H(R)$ 的不可分分量不包含集合 $R, [0,\infty), (-\infty,0]$ 中的任何一个，它就同胚于 Hilbert 空间 $\ell_2(2^{\aleph_0})$。