配对问题中的Condorcet维数与Pareto最优性

我们研究了其中一方的代理人构成二分图，另一方的对象，并对对象上的偏好进行排序的配对问题。一个中心解决概念是流行度：若匹配是流行的，即它是一个（弱）Condorcet 获胜者，意味着没有其他匹配因多数代理人而被偏好。众所周知，Condorcet 获胜者未必存在。因此，我们转向一种自然且突出的放宽。若对每个竞争匹配，都有多数代理人偏好他们在集合中的首选匹配胜于竞争者，则该匹配集合称为Condorcet-winning set。Condorcet维数是Condorcet-winning set 的最小基数。我们的主要结果揭示了Condorcet-winning sets 与Pareto最优性之间的联系。我们表明，任何Pareto最优的两个匹配集合特别是一个Condorcet-winning set。当我们对匹配对象的集合施加matroid约束，甚至当代理人的价值给定为部分秩序时，这一含义仍然成立。然而，存在图景在部分秩序下发生了明显的变化。虽然对于弱秩序，Pareto最优的两个匹配集合总是存在，但在部分秩序下却 --出乎意料地-- 不存在。因此，尽管配对问题的Condorcet维数在弱秩序下为2（即使在matroid约束下），但这种保证在部分秩序下失败：我们证明了Condorcet维数为 $\Theta(\sqrt{n})$，且在加入matroid约束后进一步上升到 $\Theta(n)$。在计算方面，我们表明，在部分秩序下，决定是否存在给定固定大小的Condorcet-winning set 是NP-hard的。同样，决定是否存在Pareto最优匹配也是NP-hard的，这我们认为是独立有趣的。最后，我们还表明，关于arborescences 的相关问题的Condorcet维数也为2。