关于图结构与优化基于流行匹配 characterization 等价性的研究

流行匹配提供了一种在偏好条件下进行匹配的模型，其解决方案对应于投票系统中的多数派获胜者。在顶点具有对相邻顶点的偏好的二分图中，若某匹配在对抗任何匹配的多数投票中不落后，则称为流行匹配。本文研究了三个主要问题：仅一侧顶点具有偏好；允许偏好中出现平局的此类问题的推广；以及双方顶点都具有偏好。流行匹配算法的一个核心问题在于如何确定匹配的流行性，因为若直接套用定义则需要指数时间。在文献中，已有以下两种表述方式：图结构表述方式；以及由最大权匹配描述的优化基于表述方式。图结构表述方式为每个问题专门设计，提供了流行匹配的组合结构。优化基于表述方式在所有问题中工作方式相同，但未揭示流行匹配的结构。本文的主要贡献在于为三个问题提供上述两种表述方式之间的直接联系。具体而言，我们证明了每种表述方式都可以从另一种派生出来，而无需依赖它们表述流行匹配的事实。我们的证明提供了对两种表述方式等价性的全面理解，并建议将图结构表述方式从最大权匹配问题的对偶最优解的角度进行新解释。