通过稳定匹配理解受欢迎匹配

设 $G = (A \cup B, E)$ 为具有严格偏好列表的稳定婚姻问题的一个实例。若匹配 $M$ 在与任意匹配（顶点为投票者）的面对面选举中均不落败，则称 $M$ 在 $G$ 中是受欢迎的。每个稳定匹配都是一个最小规模的受欢迎匹配；另一类始终存在且易于计算的受欢迎匹配子类是主导匹配集合。若受欢迎匹配 $M$ 在与任意更大匹配的面对面选举中获胜，则 $M$ 是主导的。因此每个主导匹配都是最大规模的受欢迎匹配，且已知主导匹配集合是辅助图中稳定匹配集合的线性像。文献中的结果似乎表明，从计算复杂性理论角度看，在受欢迎匹配类中稳定匹配与主导匹配的行为非常相似。本文旨在表明稳定匹配与主导匹配在可处理性上确实存在差异，并进一步探究它们对受欢迎匹配的重要性。首先，我们证明检查所有受欢迎匹配是否也都是稳定的很容易，然而检查所有受欢迎匹配是否也都是主导的则是 co-NP 困难的。其次，我们展示了如何将一些关于受欢迎匹配问题的新的及近期困难性结果，从本文亦加以研究的稳定匹配上某些问题的 NP 困难性推导出来，从而表明稳定匹配不仅可用于证明受欢迎匹配的正面结果（如已知），也可用于证明绝大多数负面结果。我们给出新的困难性结果的问题包括：寻找一个非稳定的（相应地为非主导的）最小规模（相应地为最大规模）受欢迎匹配。我们给出新的简单证明的一个已知结果是：当 $G$ 为非二分图时寻找受欢迎匹配是 NP 困难的。