关于具有绑定偏好上限的鲁棒流行匹配与两侧平局的稳定匹配

我们给出一个二分图 $G = \left( A \cup B, E \right)$。在单侧模型中，每个 $a \in A$（通常称为智能体）严格排序其邻居 $z \in N_{a}$，而 $b \in B$ 的邻居 $y \in N_{b}$ 没有任何偏好顺序，顶点 $B$ 不会为匹配投票。在两侧模型中引入单侧平局，即每个 $a \in A$ 严格排序其邻居 $z \in N_{a}$，而每个 $b \in B$ 将其所有邻居放入一个大的平局中，即 $b \in B$ 对其所有邻居 $y \in N_{b}$ 偏好相同。在这种两侧模型中，当两个匹配在多数投票中竞争时，$b \in B$ 在两种情况下不会为匹配投票：即两种匹配都充满 $b$ 或两种匹配都不充满 $b$；否则，$b$ 偏好充满自己的匹配。鲁棒流行匹配 $M$ 是指在多个实例中仍保持流行性的匹配。我们分析了在仅一个智能体在不同实例中改变其偏好顺序时鲁棒流行匹配是否存在的情况，并提出了一种多项式时间算法来决定是否存在鲁棒流行匹配。我们给出了两侧模型中单侧平局流行匹配的简单特征。我们证明在两侧模型中单侧平局的情况下，当实例仅在单个智能体的偏好顺序上有所不同时，是否存在鲁棒流行匹配存在一种多项式时间算法。我们能够解决二分图 $G = (A \cup B, E)$ 中双侧都有弱偏好（允许平局）的稳定匹配问题，限制条件为每个平局的长度最多为 $k$。