具有双边偏好与单边平局的受欢迎匹配

给定一个二部图 $G = (A \cup B, E)$，其中每个顶点有一个对其邻居排序的偏好列表：特别地，每个 $a \in A$ 以其严格偏好顺序对其邻居排序，而 $b \in B$ 的偏好列表可能包含平局。如果不存在匹配 $M'$ 使得偏好 $M'$ 甚于 $M$ 的顶点数超过偏好 $M$ 甚于 $M'$ 的顶点数，则匹配 $M$ 是受欢迎的。我们证明判定 $G$ 是否存在受欢迎匹配的问题是 NP-hard 的。即使每个 $b \in B$ 要么有严格偏好列表，要么将其所有邻居放入单一平局中，情况也是如此。相反，我们证明当每个 $b \in B$ 将其所有邻居放入单一平局时，该问题变为多项式可解。即 $b$ 的所有邻居在 $b$ 的列表中平局，且 $b$ 希望与其中任意一个匹配。我们的主要结果是针对此模型下受欢迎匹配问题的 $O(n^2)$ 算法（其中 $n = |A \cup B|$）。注意该模型与 $B$ 中顶点无偏好且不关心是否匹配的模型大不相同。