强稳定匹配的特征刻画

强稳定匹配问题（SSMP）的一个实例是一个无向二部图 $G=(A \cup B, E)$，其中每个顶点的邻接表是一个线性有序的并列偏好列表，并列偏好是指对于给定的顶点而言同等偏好的顶点子集。并列偏好互不相交且可包含单个顶点。匹配 $M$ 是一组顶点不相交的边。一条边 $(x,y) \in E \setminus M$ 是 $M$ 的阻碍边，如果 $x$ 未匹配或严格偏好 $y$ 甚于其在 $M$ 中的当前伙伴，且 $y$ 未匹配或严格偏好 $x$ 甚于其在 $M$ 中的当前伙伴或对二者无差异。若不存在相对于它的阻碍边，则该匹配是强稳定的。我们提出了一种生成所有强稳定匹配的算法，从而解决了 Gusfield 和 Irving 的著作 \cite{GI} 中已提出的开放问题。先前已证明强稳定匹配构成一个分配格，且尽管强稳定匹配的数量可能随顶点数呈指数增长，我们证明存在一个含 $O(m)$ 个元素的偏序来表示所有强稳定匹配，其中 $m$ 表示图中的边数。我们给出两种构造此类表示的算法：一种时间复杂度为 $O(nm^2)$，另一种为 $O(nm)$，其中 $n$ 表示图中的顶点数。注意第二种表示的构造与计算单个强稳定匹配具有相同的时间复杂度。