非超自反 Banach 空间中的条件拟贪婪基

对于 Banach 空间中的条件拟贪婪基 $\mathcal{B}$，其关联的条件性常数 $k_{m}[\mathcal{B}]$ 满足估计 $k_{m}[\mathcal{B}]=\mathcal{O}(\log m)$。为了回答 Temlyakov、Yang 和 Ye 提出的问题，数位作者研究了当考虑某些特殊空间类中的拟贪婪基时，该界限是否可以被改进。已知超自反 Banach 空间中的每个拟贪婪基均满足 $k_{m}[\mathcal{B}]=(\log m)^{1-\epsilon}$（对于某个 $0<\epsilon<1$），且该估计是最优的。本文的首要目标是填补一般情形与超自反情形之间的空白，并研究非超自反空间中条件性常数的增长。粗略地说，结论是我们只能保证超自反空间中的拟贪婪基具有最优界限。我们证明，若 Banach 空间 $\mathbb{X}$ 不是超自反的，则在有限可表示于 $\mathbb{X}$ 的 Banach 空间 $\mathbb{Y}$ 中存在一个拟贪婪基 $\mathcal{B}$，满足 $k_{m}[\mathcal{B}] \approx \log m$。作为推论，我们得到对于任意 $2<q<\infty$，存在一个类型为 2 且余型为 $q$ 的 Banach 空间 $\mathbb{X}$，其具有满足 $k_{m}[\mathcal{B}] \approx \log m$ 的拟贪婪基 $\mathcal{B}$。我们还处理了 Schauder 基的相应问题，并证明若一个空间是非超自反的，则它包含一个满足 $k_m[\mathcal{B}]\approx m$ 的基序列 $\mathcal{B}$。