Schreier 族与 $\mathcal{F}$-(几乎)贪心基

设 $\mathcal{F}$ 为 $\mathbb{N}$ 的有限子集的一个遗传族。本文引入并刻画了 $\mathcal{F}$-(几乎)贪心基。给定这样的族 $\mathcal{F}$，Banach 空间 $X$ 的基 $(e_n)_n$ 称为 $\mathcal{F}$-贪心的，如果存在常数 $C\geqslant 1$，使得对每个 $x\in X$、$m \in \mathbb{N}$ 和 $G_m(x)$，有 $$\|x - G_m(x)\|\ \leqslant\ C \inf\left\{\left\|x-\sum_{n\in A}a_ne_n\right\|\,:\, |A|\leqslant m, A\in \mathcal{F}, (a_n)\subset \mathbb{K}\right\}.$$ 这里 $G_m(x)$ 是 $x$ 的 $m$ 阶贪心求和，$\mathbb{K}$ 是标量域。由定义，任何 $\mathcal{F}$-贪心基都是拟贪心的，因此 $\mathcal{F}$-贪心这一概念介于贪心与拟贪心之间。我们将 $\mathcal{F}$-贪心基刻画为 $\mathcal{F}$-无条件、$\mathcal{F}$-不相交民主且拟贪心，从而推广了 Konyagin 与 Temlyakov 关于贪心基的著名刻画。我们还给出了 $\mathcal{F}$-几乎贪心基的类似刻画。此外，我们提供了若干非平凡 $\mathcal{F}$-贪心基的例子。对可数序数 $\alpha$，我们考虑 $\mathcal{F}=\mathcal{S}_\alpha$ 的情形，其中 $\mathcal{S}_\alpha$ 是 $\alpha$ 阶 Schreier 族。我们证明对每个 $\alpha$，存在一个基是 $\mathcal{S}_{\alpha}$-贪心但不是 $\mathcal{S}_{\alpha+1}$-贪心的。换言之，我们证明对两个可数序数 $\alpha < \beta$，下列蕴含关系均不可逆：$$\mbox{拟贪心}\ \Longleftarrow\ \mathcal{S}_\alpha\mbox{-贪心}\ \Longleftarrow\ \mathcal{S}_\beta\mbox{-贪心}\ \Longleftarrow\ \mbox{贪心}.$$