基于 $1$-贪婪基的非线性逼近

类贪婪基理论始于 1999 年，当时 S. V. Konyagin 与 V. N. Temlyakov 在 \cite{KT} 中引入了著名的阈值贪婪算法。自该年起，文献中出现了不同的类贪婪基，例如：拟贪婪、几乎贪婪和贪婪基。本文旨在给出 1-贪婪基的一些新刻画。具体地，给定 Banach 空间 $\mathbb X$ 中的一组基 $\mathcal B=(\mathbf x_n)_{n\in\mathbb N}$，我们知道若存在 $C>0$ 使得对一切 $f\in\mathbb X$ 与一切 $m\in\mathbb N$ 有 $\Vert f-\mathcal G_m(f)\Vert\leq C\sigma_m(f)$，则 $\mathcal B$ 是 $C$-贪婪的，其中 $\sigma_m(f)$ 是 $f$ 的最佳第 $m$ 项逼近误差，即 $\sigma_m(f)=\inf_{y\in\mathbb{X} : \vert \text{supp}(y)\vert\leq m}\Vert f-y\Vert$。此处我们关注 $C=1$ 的情形，证明一组基是 1-贪婪的当且仅当对一切 $f\in\mathbb X$ 有 $\Vert f-\mathcal G_1(f)\Vert=\sigma_1(f)$。