Erdős-Rényi 模型中 Randić 指数的计算与解析研究

在这项工作中，我们对 Erdős-Rényi 模型 $G(n,p)$ 中的 Randić 指数 $R(G)$ 进行了计算与解析研究，该模型由 $n$ 个顶点以独立概率 $p \in (0,1)$ 相连构成。首先，通过详细的标度分析，我们表明 $\left\langle \overline{R}(G) \right\rangle = \left\langle R(G)\right\rangle/(n/2)$ 随乘积 $\xi\approx np$ 标度，因此我们可以定义三个区域：当 $\xi < 0.01$ 时以孤立顶点为主（$R(G)\approx 0$），当 $0.01 < \xi < 10$ 时为过渡区（其中 $0<R(G)< n/2$），以及当 $\xi > 10$ 时近似为完全图的区域（$R(G)\approx n/2$）。随后，受 $\left\langle \overline{R}(G) \right\rangle$ 标度的启发，我们解析地（i）获得了将 $R(G)$ 与其他拓扑指数联系起来的新关系，并刻画了相对于所获关系为极值的图；（ii）应用这些结果以得到 Erdős-Rényi 模型中图的 $R(G)$ 不等式。