半规范化空间中绝对可积与上可积函数空间的完备性

本文研究半规范化空间和局部凸拓扑向量空间(LCTVS)中函数的绝对可积性。我们引入一种上积分方法(基于 $\rho$ 变分测度 $\mu_{\rho}$)来定义上可积函数空间 $\mathcal{U}^p_{\rho}$，并探讨其函数分析性质。主要贡献包括：\begin{itemize} \item 对 $\rho$ 上可积空间 $\mathcal{U}^p_{\rho}(A;X)$（及其 Fr\'echet 类比）的精确构造，以及自然半范数 $\|\cdot\|_{\mathcal{U}^p_{\rho}}$；\item 在 $\rho$ 上积分框架内针对变分测度 $\mu_{\rho}$ 设计的度量样式不等式（递增集合的单调连续性、Fatou 类型引理以及切比雪夫不等式）；\item 函数分析结果：当 $X$ 为顺序完备(半规范化情况)时，$\mathcal{U}^p_{\rho}([a,b];X)$ 的顺序完备性；以及当 $X$ 为顺序完备 Fr\'echet 空间时，$\mathcal{U}^p([a,b];X)$ 的顺序完备性；\item 绝对可积子空间 $L^p_{\rho}([a,b];X)$ 在 $\mathcal{U}^p_{\rho}([a,b];X)$ 中的闭性(因此在常规假设下，$L^p([a,b];X)$ 为 $\mathcal{U}^p([a,b];X)$ 的闭 Fr\'echet 子空间)。 \end{itemize}