拓扑空间完备性：一种无归纳的综述

拓扑空间的完备性通常基于存在特殊结构(如度量、均匀性、亲缘性、收敛性等)以显式诱导拓扑，这使得完备性依赖于归纳。然而，在给定空间$X=(X,\tau)$中，若我们固定一个$\tau$的基$\mathcal{B}$，其称为"graded"的，即其被划分为$\mathcal{B}=\bigcup_{\varepsilon\in \mathcal{E}}\mathcal{B}_\varepsilon$中的开覆盖$\mathcal{B}_\varepsilon$覆盖$X$，使$X=(X,\tau,\mathcal{B})$成为"(graded) base space"。若我们现在放宽"网的收敛"概念为"网之间的接近"概念，则可获得一种更自然的、无归纳的"基空间中巴赫网"概念，从而得到相应的、无归纳的"基空间完备性"概念。我们发现，许多关于均匀空间完备性的经典概念和结果可推广至某类基空间的完备性(称为"locally symmetric base spaces"或"$lsb$-spaces")，该类空间properly包含均匀空间。上述经典结果包括紧凑性表征、Baire定理、完备性存在以及产品与函数$lsb$-spaces的完备性结果。