比较一般状态空间可逆 MCMC 算法的效率

我们审查并提供了用于比较可逆 MCMC 算法在一般状态空间上生成的估计效率的新证明。我们给出了关于实值函数在 $\phi$-不可约可逆马尔可夫链上的渐近方差公式的完整证明，该公式最初由 Kipnis 和 Varadhan 引入。给定两个具有平稳测度 $\pi$ 的马尔可夫核 $P$ 和 $Q$，若若对每一个实值函数 $f\in L^2(\pi)$，都有关于 $P$ 的渐近方差小于等于关于 $Q$ 的渐近方差，则称马尔可夫核 $P$ 的效率支配马尔可夫核 $Q$。在仅具备基本函数分析背景的前提下，我们证明对于两个 $\phi$-不可约可逆马尔可夫核 $P$ 和 $Q$，$P$ 的效率支配 $Q$ 当且仅当算子 $Q-P$ 在 $L^2(\pi)$ 上为正的，即 $\langle f,(Q-P)f\rangle\geq0$ 对每个 $f\in L^2(\pi)$ 都成立。我们利用这一结果表明，可逆抗共轭核的效率高于独立同分布抽样，且效率支配是 $\phi$-不可约可逆马尔可夫核上的一个偏序。我们还提供了基于 Tierney 之证明的论证，表明 Peskun 支配是可逆核的效率支配的充分条件。借助这些结果，我们表明由随机选择其他“组件”马尔可夫核形成的马尔可夫核，只要其组件核的效率支配另一组马尔可夫核的组件核，将始终效率支配后者。这些关于组件核效率支配的结果，概括了 Neal 和 Rosenthal 从有限状态空间推广到一般状态空间的联合链效率支配结果。