比较 A^1-h-配边与 A^1-弱等价

我们研究了在 ${\mathbb A}^1$-同伦论中自然出现的各种等价概念下，对 ${\mathbb P}^2$ 上秩二向量束的射影化进行分类的问题，即 ${\mathbb A}^1$-弱等价和 ${\mathbb A}^1$-$h$-配边。首先，我们将此类簇按 ${\mathbb A}^1$-弱等价进行分类：在特征不为二的代数闭域上，该分类可以用底层向量束的特征类来表示。当基域为 ${\mathbb C}$ 时，可将此分类结果与相应的拓扑结果进行比较，我们发现代数同伦分类与拓扑同伦分类是一致的。其次，我们利用形变论技术研究此类簇按 ${\mathbb A}^1$-$h$-配边的分类问题。为此，我们建立了 ${\mathbb P}^2$ 上 ${\mathbb P}^1$-束的形变刚性结果，该结果将 ${\mathbb A}^1$-$h$-配边与底层向量束的形变联系起来。利用向量束形变论的结果，我们表明如果 $X$ 是 ${\mathbb P}^2$ 上的 ${\mathbb P}^1$-束，而 $Y$ 是 ${\mathbb P}^2$ 上线束直和的射影化，那么若 $X$ ${\mathbb A}^1$-弱等价于 $Y$，则 $X$ 也 ${\mathbb A}^1$-$h$-配边于 $Y$。最后，我们讨论了 ${\mathbb A}^1$-$h$-配边定义中固有的一些微妙之处。例如，我们表明直接 ${\mathbb A}^1$-$h$-配边并非等价关系。