射影平面中点和线模空间的紧化

射影对偶将模空间 $\mathbf{B}_n$ 与 $\mathbf{X}(3,n)$ 等同起来，二者分别参数化 $\mathbb{P}^2$ 中 $n$ 个点的线性一般构型与对偶 $\mathbb{P}^2$ 中 $n$ 条直线的构型。空间 $\mathbf{X}(3,n)$ 容许 Kapranov 的 Chow 商紧化 $\overline{\mathbf{X}}(3,n)$，该紧化亦被 Lafforgue、Hacking、Keel、Tevelev 与 Alexeev 研究过，并给出稳定曲面 KSBA 模空间的一个例子：它带有一个 $\mathbb{P}^2$ 的某种可约退化（带 $n$ 条“折断直线”）的族。Gerritzen 与 Piwek 提出了一种对偶视角，即一个紧模空间，参数化 $\mathbb{P}^2$ 的某种可约退化（带 $n$ 个光滑点）。我们探究这些方法间的关系，回答了 Kapranov 于 2003 年提出的一个问题。