Hilbert空间多边形类型的对易多元算子

设 $T\colon H\to H$ 为Hilbert空间上的一个有界算子。我们称 $T$具有多边形类型，如果存在一个开放凸多边形 $\Delta\subset {\mathbb D}$，且 $\overline{\Delta}\cap{\mathbb T}\neq\emptyset$，使得谱 $\sigma(T)$ 包含在 $\overline{\Delta}$ 中，且拉普拉斯算子 $R(z,T)$ 满足估计 $\|R(z,T)\|\lesssim \max\{|z-\xi|^{-1}\, :\, \xi\in \overline{\Delta}\cap{\mathbb T}\}$ 对 $z\in\overline{\mathbb D}^c$ 成立。多边形类型算子类（可追溯至 De Laubenfels 和 Franks-McIntosh）包含Ritt算子类。设 $T_1,\ldots,T_d$ 为Hilbert空间上的对易算子，其中 $d\geq 3$。我们在各种涉及多边形类型的假设下，证明了 $d$ 元组 $(T_1,\ldots,T_d)$ 的函数计算性质。主要结果如下。(1) 如果 $T_k$ 对所有 $k=1,\ldots,d$ 为收缩算子，并且 $T_1,\ldots,T_{d-2}$ 具有多边形类型，则 $(T_1,\ldots,T_d)$ 满足广义von Neumann不等式 $\| \phi(T_1,\ldots,T_d)\| \leq C\Vert\phi\Vert_{\infty,{\mathbb D}^d}$ 对所有 $d$ 变量中的多项式 $\phi$ 成立；(2) 如果 $T_k$ 对所有 $k=1,\ldots,d$ 均为多边形类型的多项式有界算子，则存在一个可逆算子 $S\colon H\to H$，使得 $\|S^{-1}T_kS\|\leq 1$ 对所有 $k=1,\ldots,d$ 成立。