Bergman 空间上 Toeplitz 算子的根

复平面 $\mathbb C$ 中单位圆盘 $\mathbb D$ 上的 Bergman 空间上 Toeplitz 算子理论中的一个主要问题是完全描述给定 Toeplitz 算子的交换子，即所有与之可交换的 Toeplitz 算子的集合。在文献 \cite{l} 中，第一作者完全描述了具有任意拟齐次符号 $\phi(r)e^{ip\theta}, p>0$ 的 Toeplitz 算子 $T$ 的交换子，前提是它有一个符号为 $\psi(r)e^{i\theta}$ 的 Toeplitz $p$ 次根 $S$，即 $T$ 的交换子是 $S^n$（这些 $S^n$ 是 Toeplitz 的）生成的线性空间的闭包。但直到现在，$p$ 次根的存在性仅在 $\phi(r)=r^m,m \geq 0$ 时已知。本文将证明对于更大一类符号存在 $p$ 次根，例如，它包含满足 $$\phi(r)=\sum_{i=1}^kr^{a_i}(\ln r)^{b_i},0\leq a_i, b_i \text{ 对所有 } 1\leq i\leq k$$ 的符号。