$b$ 进制展开中带移位的最长公共子串

记 $S_n(x,y)$ 为 $x$ 和 $y$ 在其 $b$ 进制展开前 $n$ 位中带移位的最长公共子串的长度。我们证明，使得 $S_n(x,y)$ 的增长率为 $\alpha \log n$（其中 $0\le \alpha \le \infty$）的数对 $(x,y)$ 的集合具有满 Hausdorff 维数。