关于 Sampson 研究阿贝尔簇上 Hodge 猜想的评注

设 $A$ 为维数 $n$ 的阿贝尔簇。对于 $0<p<2n$ 的奇整数，Sampson 构造了一个满同态 $\pi :J^p(A)\rightarrow A$，其中 $J^p(A)$ 是 $A$ 的高阶 Weil Jacobian 簇。设 $\widehat{\omega}$ 为 $H^{1,1}(J^p(A),\mathbb{Q})$ 中的一个固定形式，$N=\dim (J^p(A))$。他指出，若映射 $\pi _*(\widehat{\omega }^{N-p-1}\wedge .): H^{1,1}(J^p(A),\mathbb{Q})\rightarrow H^{n-p,n-p}(A,\mathbb{Q})$ 是单射，则 $A$ 在双次数 $(p,p)$ 上的 Hodge 猜想成立。在本文中，我们对该方法进行了澄清，并证明除 Hodge 猜想已知的某些特殊情况外，上述映射并非单射。我们提出了一种修正的方法。