关于$\mathbb{Z}_{(p)}$-代数上$\hat{\mathcal{G}}^{(\lambda)}$被$\hat{\mathbb{G}}_m$扩张的某些同态的单射性

设$\widehat{\mathcal{G}}^{(\lambda)}$是将$\widehat{\mathbb{G}}_a$形变为$\widehat{\mathbb{G}}_m$的形式群方案。并设$\psi^{(l)}:\widehat{\mathcal{G}}^{(\lambda)}\rightarrow\widehat{\mathcal{G}}^{(\lambda^{p^l})}$是由$\lambda$确定的第$l$个Frobenius型同态。我们证明，在$\lambda$的适当限制下，由$\psi^{(l)}$诱导的同态$(\psi^{(l)})^\ast:H^2_0(\widehat{\mathcal{G}}^{(\lambda^{p^l})},\widehat{\mathbb{G}}_m)\rightarrow H^2_0(\widehat{\mathcal{G}}^{(\lambda)},\widehat{\mathbb{G}}_m)$在$\mathbb{Z}_{(p)}$-代数上是单射的。在此情形下，$\mathrm{Ker}(\psi^{(l)})$的Cartier对偶（一个$p^l$阶有限群方案）可在$\mathbb{Z}/(p^n)$-代数上描述。