全纯单射性与Hopf映射

我们给出局部双全纯映射$F:X \to \mathbb C^{n}$保证全局单射性的精确条件。对$n \geq 2$，若对每条复直线$l \subset \mathbb C^{n}$，原像$F^{-1}(l)$全纯地嵌入为连通域到$\mathbb C \mathbb P^{1}$中（该嵌入在M"obius变换下唯一），则这样的映射是单射的。特别地，若每条复直线的原像连通且共形于$\mathbb C$，则$F$是单射的。证明利用了与Hopf映射相关的自然映射$\mathbb R \mathbb P^{2n-1} \to \mathbb C \mathbb P^{n-1}$不容许连续截面这一拓扑事实，以及复分析中的经典Bieberbach-Gronwall估计。