关于“扭曲双代数胚与 Drinfeld 扭曲得到的双代数胚”的评论

一类左双代数胚，其底代数 $A\sharp H$ 是双代数 $H$ 与辫状交换 Yetter–Drinfeld $H$-代数 $A$ 的 smash 积，近来在与非交换空间上场论模型相关的研究中被探讨。在 [A. Borowiec, A. Pachol, “Twisted bialgebroids versus bialgebroids from a Drinfeld twist”, J. Phys. A50 (2017) 055205] 中，给出了一个证明：由 Drinfeld 2-闭链 $F = \sum F^1\otimes F^2$ 对 $H$ 和 $A$ 的扭曲 $H^F$ 和 $A_F$ 所构成的双代数胚 $A_F\sharp H^F$，同构于由 $F$ 诱导的双代数胚 2-闭链 $\sum 1\sharp F^1\otimes 1\sharp F^2$ 对双代数胚 $A\sharp H$ 的扭曲。他们假设 $H$ 是拟三角的，这对许多物理应用是合理的。然而该证明及整篇论文想当然地认为余作用与预辫结构都由涉及 R-矩阵的特定公式给出。存在拟三角 Hopf 代数上的 Yetter–Drinfeld 模不具此特殊形式的反例。尽管如此，主要结果本质上仍然成立。我们给出了一个具有一般余作用与正确预辫结构、甚至无需拟三角性假设的证明。