关于旗流形 $GL(p+q,\mathbb{C})/B$ 上避免(1,2,1,2)的 $GL(p,\mathbb{C}) \times GL(q,\mathbb{C})$-轨道闭包的组合结果

利用第二作者的最新结果，该结果明确地将旗流形 $GL(p+q,\mathbb{C})/B$ 上"避免(1,2,1,2)"的 $GL(p,\mathbb{C}) \times GL(q,\mathbb{C})$-轨道闭包识别为某些Richardson簇，我们给出了确定此类轨道闭包的光滑性、局部完全交性和Gorenstein性的组合准则。（在光滑性的情形，这给出了W.M. McGovern定理的一个新证明。）更进一步，我们还描述了一种直接计算任何此类轨道闭包的奇异轨迹、非局部完全交轨迹和非Gorenstein轨迹的方法。然后，我们描述了一个显式正的组合公式，用于计算Kazhdan-Lusztig-Vogan多项式 $P_{\tau,\gamma}(q)$，其中 $\gamma$ 对应于避免(1,2,1,2)的轨道闭包 $Q$ 上的平凡局部系统，而 $\tau$ 对应于包含在 $\overline{Q}$ 中的任何轨道 $Q'$ 上的平凡局部系统。这结合了第二作者的上述结果、A. Knutson、第一作者和A. Yong的结果，以及Lascoux和Schützenberger的一个公式，该公式计算了当 $w \in S_n$ 是余格拉斯曼型时的普通（A型）Kazhdan-Lusztig多项式 $P_{x,w}(q)$。