全群C$^*$-代数提升性质的同调阻碍

我们基于二阶上同调群的非消失性，发展了一种新方法，用于证明具有（相对）性质(T)的可数群的全C$^*$-代数的提升性质失效。我们推导出群 $\mathbb Z^2\rtimes\text{SL}_2(\mathbb Z)$ 与 $\text{SL}_n(\mathbb Z)$（其中 $n\geq 3$）的全C$^*$-代数不具有局部提升性质（LLP）。我们还证明了大类具有性质(T)的群 $\Gamma$（包括满足 $\text{H}^2(\Gamma,\mathbb R)\not=0$ 或 $\text{H}^2(\Gamma,\mathbb Z\Gamma)\not=0$ 的群）的全C$^*$-代数不具有提升性质（LP）。更一般地，我们证明若 $\Gamma$ 容许一个保概率测度作用且具有非消失的第二 $\mathbb R$-值上同调，则同样结论成立。最后，我们证明任意非有限呈现的性质(T)群的全C$^*$-代数都不满足LP。