通过 level 结构研究 $\mathscr{M}_{3,n}$ 的上同调不变量

我们证明，亏格为 3 的带点光滑曲线的模栈 $\mathscr{M}_{3,n}$ 的模 2 上同调不变量包含一个自由模，其生成元位于次数 $0$、$2$、$3$、$4$ 和 $6$，由辛群 $\mathrm{Sp}_6(2)$ 的不变量构成。我们通过证明满 level 2 结构的 torsor $\mathscr{M}_{3,n}(2) \to \mathscr{M}_{3,n}$ 是 versal 的来实现这一点。在此过程中，我们证明次数为 2 的 del Pezzo 曲面栈的不变量包含 Weyl 群 $W(\mathsf{E}_7)$ 的不变量，且 $\mathscr{M}_{3,n}$ 的模 2 上同调在次数 3 处非零。我们的主要结果对于主极化阿贝尔三维簇的模栈 $\mathscr{A}_3$ 同样成立。