时滞 Duffing 振子中无穷多个大振幅稳定快速振荡周期解的共存

我们探究硬弹簧时滞 Duffing 振子 $$x''(t)+ ax(t)+bx(t-T)+x^3(t)=0$$ 中快速振荡解 $x(t)$ 的稳定与不稳定。固定 $T>0$。我们针对小最小周期 $p_n=2T/n$（整数 $n\rightarrow \infty$）且对应大振幅的周期解 $x_n(t)$。注意 $x_n(t)$ 也分别是两个标准、非时滞、哈密顿 Duffing 振子 $$x''+ ax+(-1)^nbx+x^3=0$$ 的边际稳定解。对时滞 Duffing 振子稳定性发生改变。对所有充分大 $n\geq n_0$ 同时地，在 $(-1)^nb<0$ 时我们得到局部指数稳定，而在 $(-1)^nb>0$ 时得到指数不稳定，条件是 $$0 \neq (-1)^{n+1}b\,T^2< \tfrac{3}{2}\pi^2.$$ 我们用非侵入时滞反馈稳定化与失稳化来解释标准 Duffing 振子大振幅快速周期解的结果。我们以对小及中等 $n$ 的数值图示作结，其亦表明在我们理论结果有效性边界处存在 Neimark-Sacker 环面分岔。