时滞反馈控制器下静电执行器中的周期振荡

本文中，我们证明由时滞 Duffing 方程建模的静电执行器存在两个正的 $T$-周期解 $$\ddot{x}(t)+f_{D}(x(t),\dot{x}(t))+ x(t)=1- \dfrac{e \mathcal{V}^{2}(t,x(t),x_{d}(t),\dot{x}(t),\dot{x}_{d}(t))}{x^2(t)}, \qquad x(t)\in\,]0,\infty[$$ 其中 $x_{d}(t)=x(t-d)$ 和 $\dot{x}_{d}(t)=\dot{x}(t-d),$ 分别表示位置和速度反馈，且 $$\mathcal{V}(t,x(t),x_{d}(t),\dot{x}(t),\dot{x}_{d}(t))=V(t)+g_{1}(x(t)-x_{d}(t))+g_{2}(\dot{x}(t)-\dot{x}_{d}(t)),$$ 为反馈电压，其中正输入电压 $V(t)\in C(\mathbb{R}/T\mathbb{Z})$，$e\in \mathbb{R}^{+}, g_{1},g_{2}\in \mathbb{R}$，$d\in [0,T[$。阻尼力 $f_{D}(x,\dot{x})$ 可为线性，即 $f_{D}(x,\dot{x}) = c\dot{x}$，$c\in\mathbb{R}^+$ 或挤压膜型，即 $f_{D}(x,\dot{x}) = \gamma\dot{x}/x^{3}$，$\gamma\in\mathbb{R}^+$。证明我们结果的基本工具是从无时滞情形 $(d=0)$ 出发的周期解局部延拓方法。我们的方法为微机电系统中的时滞现象提供了新见解，并可用于研究支配若干执行器运动的一大类时滞 Liénard 方程动力学，包括梳状驱动指执行器和扭转执行器。给出一些数值例子以说明我们的结果。