β-ensemble的中心极限定理及其在Schatten球KLS猜想中的应用

本文关注势于形式为 $|x|^{p}$（$p \geq 2$）的Freud权重下的β-ensemble（即一维对数气体）。由于该势函数在 $p \in (2,3]$ 时不可达 $\mathcal{C}^{3}$，故大多数现有文献方法不适用。我们在这一奇异情形下，证明了一般测试函数作线性统计量的中心极限定理。我们的策略基于类似 [Bourgade, Mody, Pain 22] 的最优局部律建立。我们的结果允许我们对Schatt球上均匀分布的KLS猜想进行一致性检验，以及函数 $f(X)=\mathrm{Tr}\left(X^{r}\right)^{q}$。虽然 $p>3$, $q=1$, $r=2$ 的情形已在 [Dadoun, Fradelizi, Guédon, Zitt 23] 中证明，但本文我们拓展至 $p\geq2$, $q\geq1$ 且 $r\geq2$ 为偶整数的情形。证明方法基于Schatt球上均匀分布范数矩与Freud权重下β-ensemble矩之间的联系。