李-泊松系统的克莱布什正则化

我们提出一种称为克莱布什正则化（Clebsch canonization）的系统化步骤，用于获得一个正则哈密顿系统，该系统通过动量映射与给定的李-泊松方程相关联。我们描述了该步骤的坐标版本与几何版本，后者似乎是首次给出。我们还找到了另一个动量映射，使得这对动量映射在特定条件下构成对偶对。该对偶对具体实现了通常所称的李-泊松系统的集体化（collectivization）。它还意味着，用辛龙格-库塔方法求解正则化系统可得到所谓的集体李-泊松积分器，其精确保持余伴随轨道从而精确保持卡西米尔函数。我们给出了若干例子，包括基达涡旋以及带控制的可动基座上的重陀螺，它们分别是 $\mathfrak{so}(2,1)^{*}$ 与 $(\mathfrak{se}(3) \ltimes \mathbb{R}^{3})^{*}$ 上的李-泊松系统。