子群族链的 classifying space

本论文研究离散群 G 相对于 G 的子群族 F 的 Bredon 上同调维数与几何维数。为此，我们致力于构建 E_F(G) 的有限维模型。有限子群族 Fin 与虚循环子群族 VC 的情形已被广泛研究，且已发展出许多工具将 VC 的 classifying space 与 Fin 的相联系。给定离散群 G 及 G 的子群族升链 F_0 ⊆ F_1 ⊆ … ⊆ F_n ⊆ …，我们提供一种递归方法以构建 E_{F_r}(G) 的模型，并给出所建模型为有限维的若干条件。利用所得 classifying space，我们对 G 相对于族 (F_r)_{r∈N} 的 Bredon 上同调维数与几何维数给出上界。继而考虑 Hirsch 长度小于等于 r 的虚多循环子群族 H_r（r∈N）。我们将子群族链的结果应用于任意虚多循环群 G 的链 H_0 ⊆ H_1 ⊆ …，证明相应的 Bredon 维数均以 h(G)+r 为上界，其中 h(G) 为 G 的 Hirsch 长度。最后，对于同一子群族链及以任意局部虚多循环群为环境群的情形，我们给出类似结果，此时得到上界 h(G)+r+1。