秩至5及以上的整Grothendieck环的分类

在本文中，我们将Grothendieck环定义为可范畴化为复数域上融合范畴的融合环。如果一个整融合环的所有形式余次数都是整除全局Frobenius-Perron维数的整数，则称其为Drinfeld环。每个整Grothendieck环必然是Drinfeld环。利用整Drinfeld环的形式余次数构成一个和为1的埃及分数这一事实，我们推导出小秩情况下可能的全局FPdim的有限列表。应用Normaliz，我们用这些候选FPdim对所有融合环进行分类，仅保留那些允许Drinfeld结构的环。为了排除不是Grothendieck环的Drinfeld环，我们分析了到Drinfeld中心的归纳矩阵，该矩阵通过我们新的Normaliz特性进行分类。进一步的排除和构造涉及群论融合范畴和Schur乘子。我们的主要结果是秩至5的整Grothendieck环的完全分类，并利用Frobenius-Schur指示子和Galois理论将其扩展到秩至7的奇数维和非交换情形。此外，我们证明了任何秩至多为22的非交换、奇数维、整Grothendieck环都是秩为21的点化环。我们还分类了所有秩为6的整1-Frobenius Drinfeld环，识别了第一个已知的非Isaacs整融合范畴(结果证明是群论的)，分类了秩为8的整非交换Drinfeld环，以及秩为9的整1-Frobenius MNSD Drinfeld环。最后，我们确定了最小秩的奇异简单整融合环：一般情况下秩为4，Drinfeld情形下秩为6，1-Frobenius Drinfeld情形下秩为7。