Artin n-栈的 Grothendieck 环

我们引入高阶 Artin 栈的 Grothendieck 环，推广了代数簇的 Grothendieck 环。我们注意到该环通过不变量“有限域上有理点的个数”的因子分解而证其非平凡。我们还引入“特殊 Artin 栈”的概念，按定义其同伦群 $\pi_{i}$ 是仿射的，且对 $i>1$ 是幂幺的。我们的主要定理表明，从簇的 Grothendieck 环到特殊 Artin 栈的 Grothendieck 环的自然包含态射，在将仿射直线类 $L$ 以及所有 $i>0$ 的 $L^{i}-1$ 类取逆之后是一个同构。我们由此推出，为簇定义的若干数值不变量（例如 Hodge 数、l-进 Euler 示性数……）唯一地扩张为定义在特殊 Artin 栈上的不变量。特别地，我们得到了有限域上有限型特殊 Artin 栈的迹公式，将有理点的个数识别为 Frobenius 作用于 l-进 Euler 示性数上的迹。