具有混合阶数与指数增长或非负局部非线性的共形不变系统的解的分类

在本文中，在不对 $v$ 作任何假设且对 $u$ 仅作极弱假设 $u(x)=O(|x|^{K})$（当 $\infty$ 时，对某任意大的 $K\gg1$）的条件下，我们证明了 $\mathbb{R}^{2}$ 中如下具有混合阶数与指数增长非线性的共形不变系统的解的分类：\begin{equation*}\begin{cases} (-\Delta)^{\frac{1}{2}}u(x)=e^{pv(x)}, \qquad x\in\mathbb{R}^{2}, \\ -\Delta v(x)=u^{4}(x), \qquad x\in\mathbb{R}^{2}, \end{cases}\end{equation*} 其中 $p\in(0,+\infty)$，$u\geq 0$ 且满足有限总曲率条件 $\int_{\mathbb{R}^{2}}u^{4}(x)\mathrm{d}x<+\infty$。为给出 $v$ 的积分表示公式与关键渐近性质，我们推导并使用了 $\exp^{L}+L\ln L$ 不等式，该不等式本身具有独立意义。当 $p=\frac{3}{2}$ 时，该系统与 $\mathbb{R}^{2}$ 上的单个共形不变方程 $(-\Delta)^{\frac{1}{2}}u=u^{3}$ 和 $-\Delta v=e^{2v}$ 密切相关，这些方程已被广泛研究（参见 \cite{BF,C,CY,CL,CLL,CLZ} 等）。我们还推导了 $\mathbb{R}^{3}$ 中具有混合阶数与 Hartree 型非局部非线性的共形不变系统的非负解的分类结果。文中也包含了向一般维数 $n\geq3$ 的 $\mathbb{R}^{n}$ 中混合阶数共形不变系统的推广。