静态 Schrödinger-Hartree-Maxwell 型方程非负解的分类

本文主要关注物理上有趣的静态 Schrödinger-Hartree-Maxwell 型方程 \begin{equation*} (-\Delta)^{s}u(x)=\left(\frac{1}{|x|^{\sigma}}\ast |u|^{p}\right)u^{q}(x) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{in} \,\,\, \mathbb{R}^{n} \end{equation*} 涉及高阶或高阶分数阶拉普拉斯算子，其中 $n\geq1$，$0<s:=m+\frac{\alpha}{2}<\frac{n}{2}$，$m\geq0$ 为整数，$0<\alpha\leq2$，$0<\sigma<n$，$0<p\leq\frac{2n-\sigma}{n-2s}$ 且 $0<q\leq\frac{n+2s-\sigma}{n-2s}$。我们首先证明了上述偏微分方程非负经典解的超多调和性质，然后给出了偏微分方程与下列积分方程的等价性 \begin{equation*} u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{R_{2s,n}}{|x-y|^{n-2s}}\left(\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{1}{|y-z|^{\sigma}}u^p(z)dz\right)u^{q}(y)dy. \end{equation*} 最后，我们通过积分形式的球面移动法对积分方程的所有非负解进行了分类。作为推论，我们得到了偏微分方程非负经典解的分类结果。我们的结果完全改进了 \cite{CD,DFQ,DL,DQ,Liu} 中的分类结果。在临界和超临界阶情形（即 $\frac{n}{2}\leq s:=m+\frac{\alpha}{2}<+\infty$）下，我们也导出了 Liouville 型定理。