通过正交性分类交换有限维 $C^*$-代数

本文的主要目标是证明，如果 $\mathcal{A}_1$ 和 $\mathcal{A}_2$ 分别是域 $\mathbb{F}_1$ 和 $\mathbb{F}_2$ 上的 Birkhoff-James 同构 $C^*$-代数，且 $\mathcal{A}_1$ 是维数大于一的有限维交换代数，则 $\mathbb{F}_1=\mathbb{F}_2$ 且 $\mathcal{A}_1$ 和 $\mathcal{A}_2$ 是（等距）$\ast$-同构的 $C^*$-代数。此外，还证明了对于有限维 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$，$\mathcal{L}_{\mathcal{A}}^\bot$ 是非除环的极小理想之和，而 $\mathcal{L}_{\mathcal{A}}^{\bot\bot}$ 是除环的极小理想之和，其中 $\mathcal{L}_{\mathcal{A}}$ 表示 $\mathcal{A}$ 中所有左对称元素的集合，且对于任意子集 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{A}$，集合 $\mathcal{S}^\bot$ 表示 $\mathcal{A}$ 中所有与 $\mathcal{S}$ Birkhoff-James 正交的元素的集合。此外还给出了提取（交换）域极小理想的程序。