通过特征 Lie 环对二维格子的子类进行分类

本文的主要目标是测试一种新的分类算法。为此，我们将其应用于描述二维格子子类可积情形的相关问题。通过施加截断条件 $u_{-1}=c_0$ 和 $u_{N+1}=c_1$，我们将格子 $u_{n,xy}=\alpha(u_{n+1},u_n,u_{n-1})u_{n,x}u_{n,y}$ 约化为有限的双曲型偏微分方程组。假设对于每个自然数 $N$，所得系统在 Darboux 意义下是可积的，我们寻找 $\alpha$。为了检测该双曲型系统的 Darboux 可积性，我们使用了一个 Darboux 可积性的代数判据，该判据声称此类系统的特征 Lie 环必须是有限维的。我们证明了在点变换的意义下，所研究类中只有一个格子通过了测试。该格子与先前发现的 Ferapontov-Shabat-Yamilov 方程一致。该格子的 $x=y$ 一维约化也通过了对称性可积性测试。