Lie-Poisson系统的分类、Casimir不变量与稳定性

我们对由Lie代数扩张形成的Lie-Poisson括号进行了分类。该问题具有重要意义，因为许多物理系统的Hamilton结构正源于此类括号。分类工作包括将所有括号约化为一组在坐标变换下独立的规范形式，并借助Lie代数上同调技术完成。对于阶数小于五的扩张，我们发现规范形式的数量很少且不含自由参数。一个称为Leibniz扩张的特殊扩张被证明是唯一的“极大”扩张。我们导出了求Lie-Poisson括号扩张的Casimir不变量的一般方法。利用“余扩张”概念显式计算了阶数小于五的所有括号的Casimir不变量。我们得到了任意阶Leibniz扩张的Casimir不变量。我们还对可压缩约化磁流体力学中Casimir不变量的性质提供了一些物理见解。我们利用所发展方法研究了给定Hamilton类下扩张的稳定性。这有助于阐明半直扩张与含上循环扩张之间的区别。对于可压缩约化磁流体力学，我们发现上循环对定态解具有失稳作用。