M-矩阵上的沙堆博弈与能量最小化

我们考虑由任意 M-矩阵定义的沙堆博弈（chip-firing）动力学。M-矩阵推广了图拉普拉斯矩阵，Gabrielov 已证明其能产生雪崩有限系统。基于 Baker 和 Shokrieh 的工作，我们扩展了能量最小化沙堆配置的概念。给定一个 M-矩阵，我们证明了在由该矩阵定义的每个等价类中存在唯一的能量最小化配置。我们定义了$z$-超稳定配置类，其满足比超稳定配置（等价于$G$-停车函数或约化除子）更严格的稳定性要求。我们证明了对于任意 M-矩阵，$z$-超稳定配置与能量最小化配置重合。此外，我们证明了$z$-超稳定配置与临界配置之间存在简单的对偶关系。因此，对于所有雪崩有限系统（包括所有具有全局汇的有向图），都存在唯一的临界配置、能量最小化配置和$z$-超稳定配置。临界配置与能量最小化器之间存在简单的对偶关系，而后者与$z$-超稳定配置重合。