字母模型的能量

我们称\emph{Alphabet model}为经典ABC模型对N类粒子的推广。我们有不同类型粒子在一维晶格上随机演化，具有交换动力学。交换速率是局域的，但在适当条件下动力学可逆，具有类似Gibbsian的不变测度且具有长程相互作用。我们几何地讨论环上可逆性条件，对应于构型图上的梯度条件，或等价地对应于与粒子类型相关的图结构上的无散度条件。我们展示了关于粒子间相互作用的许多信息可以编码在相关的\emph{Tournaments}（一类特殊的有向图）中。特别地，我们证明可逆模型的相互作用对应于强连通竞赛图。能量的可能极小值与竞赛图的哈密顿圈相对应。我们于是可以通过考察相关竞赛图的结构来确定能量可能极小值的个数与具体形式。作为副产品，我们获得了Camion \cite{Camion}经典定理（关于强连通竞赛图存在哈密顿圈）的概率证明。利用这些结果，我们在等数目的k类粒子情形下获得了用平移不变$k$-body长程相互作用表示的哈密顿量。我们证明当$k=3,4$时能量的极小值总是唯一的（平移除外）。从$k=5$开始，可能有多于一个极小值。特别地，可能出现同类粒子不聚集成单一簇的极小值。