带符号图的芯片 firing 与临界群

我们研究带符号图 $G_\phi$ 上的芯片 firing，采用 Guzm\'an 与 Klivans 引入的关于可逆矩阵上芯片 firing 的一般理论。此处负边表示对抗关系，因此触发与此类边关联的顶点会导致两端点均损失芯片。$G_\phi$ 的芯片 firing 规则由其约化拉普拉斯矩阵 $L_{G_\phi}$ 描述，该矩阵也定义了临界群 ${\mathcal K}(G_\phi)$。有效芯片构型由 $G_\phi$ 及底层图 $G$ 所确定的有理锥的格点给出。这引出了临界构型与 $z$-超稳定构型的概念，二者均由 $L_{G_\phi}$ 的行列式计数。我们建立了关于这些构型的一般结果，聚焦于验证底层性质的高效方法。随后我们在顶点切换与 Smith 正规形的背景下研究带符号图的临界群。我们借此计算了各类带符号图（包括带符号圈图、轮图、完全图与扇图）的临界群，在此过程中推广了 Biggs 等人结果。