最优追逐凸体

在追逐凸体问题中，在线玩家收到包含于赋范空间 $\mathbb R^d$ 中的 $N$ 个凸集 $K_1,\dots, K_N$ 的请求序列。玩家从 $x_0\in \mathbb R^d$ 出发，在观察到每个 $K_n$ 后选择一个新点 $x_n\in K_n$。在每一步，玩家支付 $||x_n-x_{n-1}||$ 的移动代价。玩家的目标是保持相对于事后（即预先知道所有请求）可能的最小代价的常数竞争比。Friedman 和 Linial 于 1991 年首次猜想凸体追逐存在有限的竞争比。该猜想最近被解决，给出了竞争比的指数级 $2^{O(d)}$ 上界。我们提出了一种改进的算法，在任意赋范空间中达到竞争比 $d$，该结果对 $\ell^{\infty}$ 是严格紧致的。在欧几里得空间中，我们的算法也达到了 $O(\sqrt{d\log N})$ 的竞争比，当 $N$ 相对于 $d$ 是次指数时，几乎匹配了 $\sqrt{d}$ 的下界。该方法扩展了我们先前关于嵌套凸体的工作，后者基于凸体的经典 Steiner 点。我们定义了凸函数的泛函 Steiner 点，并将其应用于相关的工作函数。