$B(H)$ 中全可导点的刻画

设 ${\mathcal{K}}$ 和 ${\mathcal{H}}$ 为两个 Hilbert 空间，$B({\mathcal{K}},{\mathcal{H}})$ 为从 ${\mathcal{K}}$ 到 ${\mathcal{H}}$ 的所有有界线性算子构成的代数。若 $G\in B({\mathcal{H}},{\mathcal{H}})$ 处的每个可导线性映射 $\varphi$（即对任意满足 $ST=G$ 的 $S,T\in B(H)$，有 $\varphi(ST)=\varphi(S)T+S\varphi(T)$）均为导子，则称 $G$ 为 $B({\mathcal{H}},{\mathcal{H}})$ 中的一个全可导点。设 $\varphi: B({\mathcal{H}},{\mathcal{K}})\rightarrow B({\mathcal{H}},{\mathcal{K}})$ 和 $\psi: B({\mathcal{K}},{\mathcal{H}})\rightarrow B({\mathcal{K}},{\mathcal{H}})$ 为两个线性映射。本文将证明以下结果：若对任意 $Y\in B({\mathcal{K}},{\mathcal{H}})$ 和 $W\in B({\mathcal{H}},{\mathcal{K}})$ 均有 $Y\varphi(W)=\psi(Y)W$，则存在某个 $D\in B({\mathcal{K}})$ 使得 $\varphi(W)=DW$ 且 $\psi(Y)=YD$。作为一个重要应用，我们将证明算子 $G$ 是 $B({\mathcal{H}},{\mathcal{H}})$ 中的全可导点当且仅当 $G\neq 0$。