环上主 $(f, \sigma, \delta)$-码的特征与性质

设 $A$ 为含单位元的环，$\sigma$ 为 $A$ 的将单位元映到自身的环自同态，$\delta$ 为 $A$ 的 $\sigma$-导子，并考虑斜多项式环 $A[X;\sigma,\delta]$。当 $A$ 为有限域、伽罗瓦环或一般环时，一些较新的文献利用 $A[X;\sigma,\delta]$ 构造了有趣的新码（例如斜循环码和斜常循环码），它们推广了有限域上经典对应码（例如循环线性码和常循环线性码）。本文给出关于环 $A$ 上{\it 主} $(f, \sigma, \delta)$-码的结果，其中 $f\in A[X;\sigma,\delta]$ 为首一多项式。我们给出递归公式以计算此类码 $\mathcal{C}$ 的生成矩阵和控制矩阵的各元素。当 $A$ 为含单位元的有限交换环且 $\sigma$ 为 $A$ 的环自同构时，我们还给出 $\mathcal{C}$ 的校验矩阵各元素的递归公式。同样在此情形下，当 $\delta=0$ 时，我们给出对偶码 $\mathcal{C}^\perp$ 的生成矩阵，给出对偶码亦为主 $\sigma$-码的主 $\sigma$-码的刻画，并推导出自对偶主 $\sigma$-码的刻画。还给出了关于主 $\sigma$-常循环码的一些推论，并提供了一些说明性例子。